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title: 高阶引力
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tags: gravity, geodesy, harmonics, potential, tesseral
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summary: 扁率项遗漏了什么、地球引力场如何展开，以及这个展开为何不在人们期望的地方收敛。
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# 高阶引力
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把地球当作质点是轨道力学的第一个近似，也是其单一最大误差的来源。第二个近似是把地球建模为轴对称椭球，它只捕获扁率，别的一概没有。第三个是展开完整势场，高精度模型正是这样做的，而困难也由此开始。
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## 定义
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天体的**地球位势**是其引力场造成的单位质量势能。在地球附近它习惯写成
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$$
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U(r, \theta, \lambda) = \frac{\mu}{r} \left[ 1
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+ \sum_{n} \left( \frac{R}{r} \right)^n \sum_{m} P_{nm}(\sin\theta)
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\left( C_{nm} \cos m\lambda + S_{nm} \sin m\lambda \right) \right]
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$$
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- `r` 是到地心的距离，`theta` 是地心余纬，`lambda` 是经度。
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- `P_nm` 是勒让德函数，是 `sin(theta)` 上的实多项式。
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- `C_nm` 与 `S_nm` 是**地球位势系数**；模型公布的是归一化后的系数。
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- `R` 是参考半径。
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`n = 0` 只有一个系数，即引力参数。每高一个阶次就有 `2n + 1` 个带谐、田谐与扇谐项。
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`J_2` 是二阶带谐系数，约为 `1.0826e-3`，并在它之上的一切中占主导。其后依次是 `J_3`、`J_4`，逐次减小。
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## 数学含义
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### 每一项的作用
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- **带谐**系数（`m = 0`）轴对称，造成升交点与近地点角的长期漂移，而不改变倾角。这就是经典的 J2 问题。
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- **田谐**系数（`0 < m < n`）依赖经度，造成所有根数（含倾角）的短周期变化。这就是真实轨道是摇摆而非平滑进动的原因。
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- **扇谐**系数（`m = n`）直接耦合半径与经度，贡献最小。
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### 截断问题
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该级数是 `(R/r)` 的幂级数，只在 `r > R` 即地球外部收敛。对地表以上的卫星，比值 `R/r < 1`，级数确实收敛，但**很慢**，因为低轨处 `R/r` 趋近一。为达到给定精度所需的项数随高度降低而增长，这就是低轨模型不得不硬截断、而地球静止轨道模型可以携带很多项的原因。
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这与直觉相反：模型在引力**最强**处更差，而不是在引力最弱处。
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### 归一化
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模型公布的系数经过归一化，使未归一化形式不随阶次增长：
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\begin{bmatrix} C_{nm} \\ S_{nm} \end{bmatrix}
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= \frac{1}{\sqrt{(1 - \delta)\,(n - m)!\,(n + m)!}}
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\begin{bmatrix} \bar{C}_{nm} \\ \bar{S}_{nm} \end{bmatrix}
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$$
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一个模型由其最高阶 `N` 以及此下的系数定义。180 阶配前几百个系数是常见配置。
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## 单位约定
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- 势与系数为无量纲；`mu` 为引力参数。
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- `R` 为赤道半径，约 6378.137 km。
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- 角度为弧度；勒让德函数是正弦上的多项式。
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## 适用边界
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截断的引力场是一种折中。低阶截断省下计算并损失精度，而代价在低轨最大，因为那里 `(R/r)` 趋近一。数值上的后果比位置上的更糟：截断的场是光滑的，但驱动短周期项的它的导数不是。
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由力函数而非势函数拟合出的模型是另一种做法，在场由特定轨道上的测量给出时使用；它不能推广到其他高度或倾角。
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归一化系数与非归一化系数之别是静默错误的常见来源，因为两者之间的因子取决于阶次。
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## 标准
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- EGM2008 及其后继模型：标准地球引力模型，由美国国家地理空间情报局发布
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- 阶次与归一化约定：*IERS Conventions*，第 5 节
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## 另见
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- [[perturbations]]：J2 项在其他摄动中的位置
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- [[geodesy-wgs84]]：二阶模型所假设的椭球
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- [[numerical-methods]]：把该级数当作有截断误差的方法 |