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高阶引力	gravity, geodesy, harmonics, potential, tesseral	扁率项遗漏了什么、地球引力场如何展开，以及这个展开为何不在人们期望的地方收敛。

高阶引力

把地球当作质点是轨道力学的第一个近似，也是其单一最大误差的来源。第二个近似是把地球建模为轴对称椭球，它只捕获扁率，别的一概没有。第三个是展开完整势场，高精度模型正是这样做的，而困难也由此开始。

定义

天体的地球位势是其引力场造成的单位质量势能。在地球附近它习惯写成


U(r, \theta, \lambda) = \frac{\mu}{r} \left[ 1
  + \sum_{n} \left( \frac{R}{r} \right)^n \sum_{m} P_{nm}(\sin\theta)
      \left( C_{nm} \cos m\lambda + S_{nm} \sin m\lambda \right) \right]

r 是到地心的距离，theta 是地心余纬，lambda 是经度。
P_nm 是勒让德函数，是 sin(theta) 上的实多项式。
C_nm 与 S_nm 是地球位势系数；模型公布的是归一化后的系数。
R 是参考半径。

n = 0 只有一个系数，即引力参数。每高一个阶次就有 2n + 1 个带谐、田谐与扇谐项。

J_2 是二阶带谐系数，约为 1.0826e-3，并在它之上的一切中占主导。其后依次是 J_3、J_4，逐次减小。

数学含义

每一项的作用

带谐系数（m = 0）轴对称，造成升交点与近地点角的长期漂移，而不改变倾角。这就是经典的 J2 问题。
田谐系数（0 < m < n）依赖经度，造成所有根数（含倾角）的短周期变化。这就是真实轨道是摇摆而非平滑进动的原因。
扇谐系数（m = n）直接耦合半径与经度，贡献最小。

截断问题

该级数是 (R/r) 的幂级数，只在 r > R 即地球外部收敛。对地表以上的卫星，比值 R/r < 1，级数确实收敛，但很慢，因为低轨处 R/r 趋近一。为达到给定精度所需的项数随高度降低而增长，这就是低轨模型不得不硬截断、而地球静止轨道模型可以携带很多项的原因。

这与直觉相反：模型在引力最强处更差，而不是在引力最弱处。

归一化

模型公布的系数经过归一化，使未归一化形式不随阶次增长：


\begin{bmatrix} C_{nm} \\ S_{nm} \end{bmatrix}
  = \frac{1}{\sqrt{(1 - \delta)\,(n - m)!\,(n + m)!}}
  \begin{bmatrix} \bar{C}_{nm} \\ \bar{S}_{nm} \end{bmatrix}

一个模型由其最高阶 N 以及此下的系数定义。180 阶配前几百个系数是常见配置。

单位约定

势与系数为无量纲；mu 为引力参数。
R 为赤道半径，约 6378.137 km。
角度为弧度；勒让德函数是正弦上的多项式。

适用边界

截断的引力场是一种折中。低阶截断省下计算并损失精度，而代价在低轨最大，因为那里 (R/r) 趋近一。数值上的后果比位置上的更糟：截断的场是光滑的，但驱动短周期项的它的导数不是。

由力函数而非势函数拟合出的模型是另一种做法，在场由特定轨道上的测量给出时使用；它不能推广到其他高度或倾角。

归一化系数与非归一化系数之别是静默错误的常见来源，因为两者之间的因子取决于阶次。

标准

EGM2008 及其后继模型：标准地球引力模型，由美国国家地理空间情报局发布
阶次与归一化约定：IERS Conventions，第 5 节

另见

perturbations：J2 项在其他摄动中的位置
geodesy-wgs84：二阶模型所假设的椭球
numerical-methods：把该级数当作有截断误差的方法

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