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数值方法与误差	numerical, error, iteration, conditioning, convergence	当精确答案不存在时，一个算出来的数字会有什么行为，以及算错、不够精确、不稳定这三者的区别。

数值方法与误差

轨道工作中的大多数量没有闭式解。摄动场中椭圆轨道的周期、经历一段阻力历史后的近地点角、卫星进入某视锥锥面的时刻：这些量由一个必须求解而非求值的方程定义。数值求解用另一个问题替换了一个有答案的问题，而后者没有答案。

定义

当一个数字被算出时，有三类不同的事情会出错，值得分开看待：

前两类是有界且可估计的。第三类是问题本身的性质，无法从算术中估计，必须靠识别。

不动点通过反复代入达到，x 变为 g(x)。当根附近导数绝对值小于一时收敛：

|g'(x)| < 1   收敛
|g'(x)| > 1   发散

开普勒方程 M = E - e sin E 对 E 没有闭式解，用牛顿法求解：

E_{n+1} = E_n - (E_n - e sin E_n - M) / (1 - e cos E_n)

当 e 不接近一时在根附近二次收敛。该迭代很快，其收敛率取决于偏心率；对接近抛物线的轨道分母趋近于零，需要改用其他形式。

二分法每步更慢但不会发散，因为它把一个已知包含根的区间减半。选哪一种取决于发散与代价哪一个更要紧。

答案对输入扰动的敏感程度是条件数。对函数 f，

kappa = | f'(x) | * | x| / | f(x) |

条件数大意味着小的输入误差变成大的输出误差，与方法无关。在奇点附近条件数发散：由半长轴与偏心率计算轨道半径是良态的，而由同样元素计算近地点时刻不是，因为分母中出现 sqrt(1 - e^2)，当 e 趋近一时趋于零。问题病态而非算术病态，多给几位有效数字无济于事。

定步长积分的全局误差与步长成正比，局部误差与步长平方成正比。因此步长减半只让答案改善两倍而非四倍，"干脆把步长减半"因此是换精度的昂贵做法。

对 p 阶方法，全局误差按步长的 p 次幂下降。四阶 Runge-Kutta 给出 h^4，因此常用：每步代价是四次函数求值，步长减半代价增至八倍，而误差减少十六倍。

收敛的方法未必准确。对开普勒方程用牛顿法，收敛到所提方程的根；若方程漏掉了某个摄动，解就是错误问题的根，而且会自信地收敛。

迭代也可能因判据过松而悄然停止。报告迭代次数而不只报告答案，能让调用方看出结果是否在预期步数内得到。

三类失效在实践中可分：舍入表现为可达精度的下限；截断表现为方法细化后缩小的误差；不稳定表现为会增大的误差。