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开普勒轨道元素	轨道, 开普勒, 元素, 近点角	六个经典轨道元素、二体解与三种近点角。

开普勒轨道元素

当只有中心天体引力作用时，六个数字即可描述绕其运行的椭圆轨道。它们是经典轨道元素，也是检视轨道与规划机动时最方便的形式。本文档定义它们及相应转换。

定义

元素	符号	含义	单位
半长轴	`a`	椭圆的大小	km
偏心率	`e`	形状，`0` 为圆，小于 `1` 为椭圆	无量纲
倾角	`i`	轨道面相对赤道的倾角	rad
升交点赤经	`Omega`	轨道向北穿越赤道的位置	rad
近地点幅角	`omega`	轨道面内从升交点到近地点的角度	rad
真近点角	`nu`	从近地点到卫星的角度	rad

前两个给出形状与大小，接下来两个给出轨道面的朝向，最后两个给出近地点在轨道面内的位置与卫星沿轨道的位置。

轨道是以地心为一个焦点的椭圆，即开普勒第一定律。离地球最近的点是近地点，最远的是远地点。

数学含义

半径随真近点角的变化由圆锥曲线方程给出：


r = \frac{p}{1 + e \cos\nu}, \qquad p = a (1 - e^2)

其中 p 是半通径。速度由活力公式给出：


v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

其中 mu 是地球的引力参数。

两个导出量经常出现：


\begin{aligned}
r_p &= a (1 - e) && \text{（近地点半径）} \\
r_a &= a (1 + e) && \text{（远地点半径）} \\
T &= 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} && \text{（开普勒第三定律）}
\end{aligned}

到直角状态的转换先把卫星置于近焦点坐标系，其第一轴指向近地点，第三轴沿轨道法线：


\begin{aligned}
r &= \frac{p}{1 + e \cos\nu} \\
x &= r \cos\nu, \quad y = r \sin\nu, \quad z = 0 \\
v_x &= -\sqrt{\frac{\mu}{p}} \sin\nu \\
v_y &=  \sqrt{\frac{\mu}{p}} \left( e + \cos\nu \right)
\end{aligned}

再按近地点幅角、倾角和升交点赤经依次旋转。

三种近点角

三个角为轨道上的位置命名。它们在近地点与远地点一致，在中间不同。

近点角	符号	定义	几何含义
真近点角	`nu`	焦点处自近地点量起的角	卫星的实际方向
偏近点角	`E`	椭圆中心处的角	投影圆的辅助角
平近点角	`M`	`M = E - e sin(E)`	假想的圆轨道天体所具有的角

关系为


\tan\frac{\nu}{2} = \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} \tan\frac{E}{2}, \qquad M = E - e \sin E

M = E - e sin(E) 即开普勒方程。它是超越方程，因此由 M 求 E 需迭代；实现采用带固定迭代次数与容差的牛顿法，对地球轨道通常具有的偏心率收敛很快。该方程没有闭式解，声称有闭式解的实现都是在近似。

偏近点角是多数计算内部使用的量，因为上述两个转换在它之下都很简单。

单位约定

半长轴单位为千米。
接口中角度单位为弧度。接受度的工具在输入边界处转换，并同时报告两种单位。
偏心率为无量纲。
引力参数 mu 单位为立方千米每二次方秒。

适用边界

二体解假定两个质点、无其他作用力。地球轨道会受到地球扁率、大气阻力、日月引力与太阳光压的影响，每一项都会使卫星偏离该椭圆。

因此由某一时刻的状态矢量算出的开普勒元素是密切轨道的元素，即在那一瞬间与真实轨迹相切的椭圆。它们沿轨道变化。它们不是两行元素集中的平均元素，且两者之间的转换与传播任一者都是不同的运算。

二体解对其假设是精确的，是下列场景的正确模型：

检视瞬时状态。
规划脉冲机动，此时增量施加在密切状态上。
粗略估算周期与几何。

它不是复现编目位置的正确模型。请使用 sgp4。

元素描述对比

描述	输入	模型	沿轨道变化	此处用途
平均元素	两行元素集	SGP4	否，直至重新拟合	作为传播器输入
密切元素	状态矢量	二体	是	作为传播器输出
位置与速度	任意传播器	任意	是	内部使用
赤道元素	状态矢量	二体	是	否
时间网格上的位置	任意传播器	任意	是	插值，见 ephemeris-interpolation

赤道元素避免了经典元素在倾角为零和偏心率为零时的奇异。此处使用经典形式，因为两行元素格式与已发表文献都采用这种形式，且地球轨道几乎总有非零倾角。

来源

二体解与近点角遵循 Vallado《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》中的标准论述。
元素转换遵循同一文献中的表述。

另见

tle-format：传播器所消费的平均元素
sgp4：传播器及其与这些元素的关系
perturbations：二体模型所忽略的内容
在线工具试用：开普勒元素转状态矢量

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