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title: WGS 84 椭球与大地坐标
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tags: 大地测量, wgs84, 纬度, 椭球
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summary: 纬度、经度与椭球高，以及到直角坐标的闭式转换。
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# WGS 84 椭球与大地坐标
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地球表面或近地点的位置通常以纬度、经度和高表示。要将其转换为直角坐标，必须先选定地球的形状。内核使用 WGS 84 椭球。
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## 定义
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WGS 84 椭球是由两个数定义的旋转扁椭球：
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| 参数 | 符号 | 数值 | 单位 |
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|------|------|------|------|
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| 长半轴 | $a$ | 6 378 137.0 | m |
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| 扁率倒数 | $1/f$ | 298.257 223 563 | 无量纲 |
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| 扁率 | $f$ | 1 / 298.257 223 563 | 无量纲 |
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| 短半轴 | $b = a(1 - f)$ | 6 356 752.314 245 | m |
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| 第一偏心率平方 | $e^2 = 2f - f^2$ | 0.006 694 379 990 13 | 无量纲 |
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其余所有量都由这两个定义数导出，因此导出的数值与已发布值在定义精度内一致，而不是各自独立舍入的结果。
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三个坐标描述一个点：
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- **大地纬度** $\phi$，该点处椭球法线与赤道面的夹角。
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- **经度** $\lambda$，本初子午线以东为正。
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- **椭球高** $h$，沿椭球法线量取，向外为正。
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大地纬度不是地心纬度。地心纬度是到该点的矢径与赤道面的夹角。二者在赤道与两极一致，在中纬度最大相差约 0.19 度，约合地面 21 公里。
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## 数学含义
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从大地坐标到直角坐标是闭式的。令
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$$
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e^2 = 2f - f^2, \qquad
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N = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2 \phi}}
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$$
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则地固系中的直角坐标为
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$$
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\begin{aligned}
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x &= (N + h) \cos\phi \cos\lambda \\
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y &= (N + h) \cos\phi \sin\lambda \\
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z &= \left( N (1 - e^2) + h \right) \sin\phi
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\end{aligned}
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$$
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$N$ 是零高点在赤道面内到自转轴的距离，从赤道的 $a$ 增至极点的 $a / \sqrt{1 - e^2}$。
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反向转换，即从直角坐标求大地纬度与高，没有初等闭式解，需迭代或级数求解。实现采用在固定步数内收敛到双精度表示精度的方法。当点恰好位于自转轴上时，经度无定义，转换返回空值。
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子午圈曲率半径（在子午面内）为
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$$
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M = \frac{a (1 - e^2)}{\left(1 - e^2 \sin^2 \phi\right)^{3/2}}
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$$
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它是在该纬度处椭球沿南北方向的曲率半径，出现在沿子午线积分的计算中。
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## 单位约定
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- 接口中纬度与经度单位为**弧度**，工具中以**度**表示，在边界处转换。
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- 高为椭球面以上的**米**，可为负值，表示位于椭球面以下。
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- 椭球参数单位为**米**，比值为无量纲量。
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## 适用边界
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WGS 84 椭球是全球平均值。地球实际表面与其相差可达约 100 米，即大地水准面起伏。因此椭球高不是海拔高。二者之差是该位置处的大地水准面起伏，需要正高时调用方必须依据大地水准面模型施加该改正，而这些内核不包含此类模型。
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椭球定义的是一个光滑曲面，对其而言转换是精确的。它不建模地形、大气或垂线偏差。垂线偏差是椭球法线与真实重力方向之间的夹角，小于约 0.01 度，在一万公里量程上约合 1 公里，对精确定向有影响。
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## 地球模型对比
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| 模型 | 长半轴 | 扁率倒数 | 用途 | 此处采用 |
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|------|--------|----------|------|----------|
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| WGS 84 | 6 378 137.0 m | 298.257 223 563 | GPS 与现代大地测量 | 是 |
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| WGS 72 | 6 378 135.0 m | 298.26 | 早期卫星工作；SGP4 的拟合 | 用于传播器 |
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| GRS 80 | 6 378 137.0 m | 298.257 222 101 | 大地参考 | 否 |
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| 球体 | 任意半径 | 不适用 | 粗略估算 | 否 |
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WGS 84 与 GRS 80 只在扁率上相差约 0.0001%，两者算出的位置在米级上无法区分。WGS 72 与 WGS 84 在长半轴上相差 2 米，这已足以产生影响，而 SGP4 正是针对 WGS 72 拟合的。
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## 来源
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- 美国国家影像与测绘局，*Department of Defense World Geodetic System 1984*，技术报告 TR8350.2，第三版，2000。
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## 另见
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- [[reference-frames]]：坐标所表示的参考系
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- 传播器只在报告高度时使用 WGS 84；传播本身使用 [[sgp4]] 中的引力模型
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- 在线工具试用：*大地坐标转地固坐标*
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