title	tags	summary
高阶引力	gravity, geodesy, harmonics, potential, tesseral	扁率项遗漏了什么、地球引力场如何展开，以及这个展开为何不在人们期望的地方收敛。

高阶引力

把地球当作质点是轨道力学的第一个近似，也是其单一最大误差的来源。第二个近似是把地球建模为轴对称椭球，它只捕获扁率，别的一概没有。第三个是展开完整势场，高精度模型正是这样做的，而困难也由此开始。

定义

天体的地球位势是其引力场造成的单位质量势能。在地球附近它习惯写成

U(r, theta, lambda) = (mu / r) [ 1
  + sum_n (R/r)^n * sum_m P_nm(sin theta)
      * [ C_nm cos(m lambda) + S_nm sin(m lambda) ] ]

n = 0 只有一个系数，即引力参数。每高一个阶次就有 2n + 1 个带谐、田谐与扇谐项。

J_2 是二阶带谐系数，约为 1.0826e-3，并在它之上的一切中占主导。其后依次是 J_3、J_4，逐次减小。

该级数是 (R/r) 的幂级数，只在 r > R 即地球外部收敛。对地表以上的卫星，比值 R/r < 1，级数确实收敛，但很慢，因为低轨处 R/r 趋近一。为达到给定精度所需的项数随高度降低而增长，这就是低轨模型不得不硬截断、而地球静止轨道模型可以携带很多项的原因。

这与直觉相反：模型在引力最强处更差，而不是在引力最弱处。

模型公布的系数经过归一化，使未归一化形式不随阶次增长：

[ C_nm  S_nm ] = [ 1 / sqrt( (1-delta) (n-m)! (n+m)! ) ] * [ Cbar_nm  Sbar_nm ]

一个模型由其最高阶 N 以及此下的系数定义。180 阶配前几百个系数是常见配置。

截断的引力场是一种折中。低阶截断省下计算并损失精度，而代价在低轨最大，因为那里 (R/r) 趋近一。数值上的后果比位置上的更糟：截断的场是光滑的，但驱动短周期项的它的导数不是。

由力函数而非势函数拟合出的模型是另一种做法，在场由特定轨道上的测量给出时使用；它不能推广到其他高度或倾角。

归一化系数与非归一化系数之别是静默错误的常见来源，因为两者之间的因子取决于阶次。