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title: 多普勒频移与测距率
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tags: doppler, frequency-offset, clock, ranging, tracking
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summary: 卫星运动如何改变其被接收到的频率，以及该频移如何换算为位置。
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# 多普勒频移与测距率
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卫星被观测到的频率与其发射频率不同，因为它在运动。这个差是跟踪系统的主要观测量，而把它换算成位置就是全部测距工作。
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## 定义
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**多普勒频移**是沿视线方向的相对运动所引起的观测频率改变。**测距率**是距离的变化率，它是同一个物理量：一个是频率，另一个是速度。
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对沿径向以 $v_r$ 运动、距离为 $R$ 的卫星，接收频率的偏移为
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$$
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\frac{\Delta f}{f} = -\frac{v_r}{c}
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$$
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接近使频率升高。非相对论形式对轨道速度已足够；相对论改正约为 $10^{-13}$ 量级，只在时钟驯服实验中才有意义。
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## 数学含义
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### 双向频移
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往返各一次的信号被偏移两次，因此观测到的相对频移为
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$$
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\frac{\Delta f}{f} = -\frac{2 v_r}{c}
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$$
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其中 $v_r$ 为测距率。因子二就是同一颗卫星在双向跟踪下看起来频移加倍的原因，而忽略它的测距模型带有很容易漏掉的二倍误差。
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### 由累积频移得到距离
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对双向频移积分即得距离：
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$$
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R(t) = R_0 - \int \frac{2 c \, v_r}{f_0} \, dt
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$$
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这就是跟踪系统把距离测成频率的积分而非测时的原因。累积器随参考频率的任何误差漂移，因此参考时钟是整条链路上的限制环节。
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### 由载波得到测距率
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另一种做法是直接对载波相位求差，得到无需累积器的测距率。这是常用做法，但噪声大，因为相位噪声微分后被载波频率放大。取舍是干净的测距率换一个变差的测距率。
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### 时钟偏移
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与运动分开看，发射频率可能不等于标称值。航天器时钟与参考之间的**频率偏移**在短弧段上与测距率无法区分，因为两者都会移动相位。区分它们需要第二个可观测量，通常来自另一个站点的测距，或自参考的上行。
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## 单位约定
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- 频率：赫兹；偏移常以十亿分之一表示。
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- 测距率：米每秒或千米每秒。
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- 距离：千米，载波频率用赫兹，因子 $2c/f$ 自带单位。
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- 因子二适用于双向；单向即单次情形。
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## 适用边界
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多普勒对上下行共有的噪声不敏感，这正是受干扰环境下首选该观测量的原因：干扰机必须相干才能欺骗它。
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该频移大到可测，又小到会混叠。若测距率估计误差超过每个采样间隔半个载波周期，跟踪就会回绕，恢复出的位置将完全错误。这是实际中的真实失效模式，也因此采样率必须相对动力学受限。
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单向系统需要航天器上有稳定参考，双向系统需要地面有稳定参考。无论哪种，限制环节通常是时钟而非天线。
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## 标准
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- 距离与多普勒约定：CCSDS Space Link Protocol 规定的跟踪与数据链路消息
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- 参考振荡器驯服：同一批文档的时间与频率部分
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## 另见
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- [[link-budget]]：是否有足够信号可测
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- [[interference]]：相干干扰如何影响该测量
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- [[tt-and-c]]：完整测量链路 |