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title: 大气阻力与密度模型
tags: drag, atmosphere, density, ballistic-coefficient, sun-solar-activity
summary: 大气顶层为何是轨道模型最难的部分、密度如何估计，以及太阳活动会如何改变答案。
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# 大气阻力与密度模型

阻力是唯一从轨道中移除能量的摄动。其他摄动都是用高度换倾角或方向，阻力是用高度换寿命，而多数低轨正因此终结。

## 定义

**阻力**是与速度相反的气动力。其大小为

$$
F = -\tfrac{1}{2} \rho v^2 C_d A
$$

其中 `rho` 为大气密度、`v` 为速度、`Cd` 为量级在一左右的阻力系数、`A` 为投影面积。对轨道真正重要的是其组合

$$
B = \frac{C_d A}{m}
$$

即**弹道系数**的倒数，而 `B` 正是阻力模型实际需要的量。

在约 700 km 以上，密度小到该力可与其他摄动相比，而它在过渡区的整个高度范围内变化若干个数量级，这是一多半困难的来源。

## 数学含义

### 密度与高度

在 500 km 附近密度每升高 15 km 约下降十倍，且剖面不是幂律而是若干指数层之和，由逆温层分隔。在 700 至 1000 km 附近存在一个区域，其密度比指数拟合所预测的高出数倍，卫星穿过时可能升高高度而不是降低。

### 温度与标高

在等温层中密度按标高指数衰减：

$$
H = \frac{k T}{m g}
$$

其中 `T` 为温度，而温度本身又取决于太阳活动。更热的热层意味着更大的标高、每个高度上更高的密度，以及更快的衰减。

### 太阳活动

热层由太阳加热，而加热跟随太阳紫外通量。在太阳极大期，400 km 处密度可以比极小期高出数倍，过渡区中卫星的衰减率随之改变同样倍数。这就是为何跨一个太阳活动周定出的星历不能迁移到另一个。

### 对轨道的影响

对半长轴的影响是长期衰减，其速率正比于 `rho / m`，并正比于半长轴三次方之逆，因为轨道速度随高度下降。实际后果是衰减率在轨道寿命内并不恒定：起始于稠密层的卫星衰减很快，进入稀薄层后减缓。

### 解析模型

可用模型把密度表达为随高度的指数和，其指数与系数依赖太阳活动、纬度以及昼或夜。常见到足以点名的有两个：SGP4 理论所用的指数模型，它有闭式因而有一个拟合系数；以及 US-76 之类的标准大气模型，它是表格，更准确但不可闭式求逆。

## 单位约定

- 密度：千克每立方米；数据产品更可能用克每立方厘米。
- 面质比：平方米每千克。
- 弹道系数按面质比给出，而非某些来源所用的倒数。
- 高度：千米。

## 适用边界

阻力模型是多数轨道模型中最弱的部分。它最弱的地方恰是它最重要的地方，即 700 至 1000 km 的过渡区，那里密度两倍的误差就是预测寿命两倍的误差，而密度本身就有那么大的不确定度。

拟合到特定卫星特定弧段的模型对该卫星该弧段有效，不应外推到不同面质比、不同高度或不同太阳活动周。

由长弧段拟合星历得到的平均运动把阻力吸收为平均值，因此对密度模型的误差不敏感，这正是这样导出的值比传播得到的更可靠的原因。

## 标准

- US Standard Atmosphere 1976 及其更新，作为参考剖面
- SGP4 理论所用的密度系数：Vallado 等，*Revisiting Spacetrack Report #3*，AIAA 2006-6753

## 另见

- [[perturbations]]：阻力相对 `J_2` 与三体引力的大小次序
- [[ephemeris-interpolation]]：不再需要密度模型的轨迹
- [[sgp4]]：携带拟合阻力项的传播