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title: 单位、量纲与换算
tags: units, dimensions, si, conversion
summary: 物理量如何携带其单位，以及为什么单位是类型的一部分而非标签，还有使算术结果可解释的约定。
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# 单位、量纲与换算

没有单位的数字不是物理量。"3" 可能是三米、三秒，或每小时三千公里，三者描述的不是同一件事。单位体系的用途是让算术结果可解释，这意味着单位不是附着在数值旁边的注记，而是数值本身的一部分。

## 定义

**物理量**是大小与**单位**的组合。**量纲**是被测量的种类，例如长度、时间或质量；单位是同一量纲中某个具体的大小选择。

国际单位制的基本量纲及其所选单位：

| 量纲 | 单位 | 定义依据 |
|------|------|---------|
| 长度 | 米 | 真空光速 |
| 质量 | 千克 | 普朗克常数 |
| 时间 | 秒 | 铯原子超精细跃迁 |
| 电流 | 安培 | 基本电荷 |
| 热力学温度 | 开尔文 | 玻尔兹曼常数 |
| 物质的量 | 摩尔 | 阿伏伽德罗常数 |
| 发光强度 | 坎德拉 | 由前六项定义 |

其余都是**导出量**：牛顿由千克、米、秒导出；焦耳由牛顿与米导出；瓦特由焦耳与秒导出。

## 数学含义

单位是换算到基本单位的因子。长度可以用米、千米或英尺表示；每一个都是乘以某个因子得到米数。带量纲的运算会跟踪这个因子，因此

$$
1\,\text{千米} + 500\,\text{米} = 1500\,\text{米}, \quad \text{而绝不会是 } 1 + 500 = 501
$$

规则是换算因子随数值一同流动。一个长度类型的量把换算到米的因子一起携带，因此与另一个长度相加时两个因子同时生效。

量纲的行为类似类型系统中的类型。把长度与时间相加是量纲错误，正如在会做类型检查的编译器里把字符串与整数相加一样。

### 标度关系

量纲推理在标度分析中格外有用，因为一旦出错就会表现为不可能的指数。距质量为 $M$ 的天体 $r$ 处的引力摄动必然标度为

$$
a \propto \frac{G M}{r^2}
$$

因为 $G$ 的单位是 $\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$；任何其他组合要么不具备加速度的量纲，要么只在特定情形成立，后者正是论证不完整的信号。

## 单位约定

- **角度**。角度在原理上是无量纲的，因为一整圈就是 1。多数公式中以弧度书写，而被人读取时用度、角分、角秒。两者关系是每弧度 $180 / \pi$ 度。用轴角描述旋转时，角在平面内、轴穿过极点；两种约定并不相同，因此旋转通常显式写出右手或左手。
- **词头**。SI 词头是十的幂：千为 $10^3$，兆为 $10^6$，微为 $10^{-6}$。一千米是一千公尺，绝不是一千英里。
- **二进制词头**。一兆二进制字节是 $2^{20}$ 字节，不是 $10^6$。凡是把容量与大小作比较之处，这一区别都重要。
- **领域内的单位**。轨道工作用千米与秒书写，而不是米，因为量级大且模型是按这些单位拟合的。用米表达的传播模型与用千米表达的编目数据会相差一千倍，而且不会报错。

## 适用边界

带量纲的运算能阻止一类否则容易犯下又难以察觉的错误，因为数字看起来总是合理的。但它挡不住另一类：同一个单位在两处采用了不同约定。以赤道半径为基准的高度与以椭球面为基准的高度相差数十公里；两者都是长度，也都没有错。

度量所依据的基准与单位本身同样重要。以未指明原点起算的秒数表示的历元，无法与以约化儒略日表示的历元比较，尽管两者都是时间。

## 标准

- SI：*国际单位制（SI）*，BIPM，最新版
- 与 SI 并用的非国际单位：同一文件第 4 节
- 地球参考模型：NIMA TR8350.2（WGS 84）

## 另见

- [[numerical-methods]]：这些数字用什么算出来
- [[time-scales]]：一个单位里藏着一整套约定的量
- [[geodesy-wgs84]]：高度的两种基准