---
title: 数值方法与误差
tags: numerical, error, iteration, conditioning, convergence
summary: 当精确答案不存在时，一个算出来的数字会有什么行为，以及算错、不够精确、不稳定这三者的区别。
---

# 数值方法与误差

轨道工作中的大多数量没有闭式解。摄动场中椭圆轨道的周期、经历一段阻力历史后的近地点角、卫星进入某视锥锥面的时刻：这些量由一个必须**求解**而非求值的方程定义。数值求解用另一个问题替换了一个有答案的问题，而后者没有答案。

## 定义

当一个数字被算出时，有三类不同的事情会出错，值得分开看待：

- **截断误差**。方法通过提前终止、或用更简单的函数替代原函数，得到精确答案的近似。
- **舍入误差**。数字本身的表示是有限的。双目精度大约保存十五到十七位有效十进制数字；再往后的位是噪声。
- **不稳定**。输入的微小误差，或中间步骤的微小误差，会放大为答案的大误差。

前两类是有界且可估计的。第三类是问题本身的性质，无法从算术中估计，必须靠识别。

## 数学含义

### 迭代

不动点通过反复代入达到，$x$ 变为 `g(x)`。当根附近导数绝对值小于一时收敛：

$$
\lvert g'(x) \rvert < 1 \quad \text{（收敛）}, \qquad
\lvert g'(x) \rvert > 1 \quad \text{（发散）}
$$

开普勒方程 $M = E - e\sin E$ 对 $E$ 没有闭式解，用牛顿法求解：

$$
E_{n+1} = E_n - \frac{E_n - e \sin E_n - M}{1 - e \cos E_n}
$$

当 `e` 不接近一时在根附近二次收敛。该迭代很快，其收敛率取决于偏心率；对接近抛物线的轨道分母趋近于零，需要改用其他形式。

二分法每步更慢但不会发散，因为它把一个已知包含根的区间减半。选哪一种取决于发散与代价哪一个更要紧。

### 条件数

答案对输入扰动的敏感程度是**条件数**。对函数 $f$，

$$
\kappa = \frac{\lvert f'(x) \rvert \, \lvert x \rvert}{\lvert f(x) \rvert}
$$

条件数大意味着小的输入误差变成大的输出误差，与方法无关。在奇点附近条件数发散：由半长轴与偏心率计算轨道半径是良态的，而由同样元素计算近地点时刻不是，因为分母中出现 $\sqrt{1 - e^2}$，当 `e` 趋近一时趋于零。问题病态而非算术病态，多给几位有效数字无济于事。

### 步长带来的截断

定步长积分的全局误差与步长成正比，局部误差与步长平方成正比。因此步长减半只让答案改善两倍而非四倍，"干脆把步长减半"因此是换精度的昂贵做法。

对 $p$ 阶方法，全局误差按步长的 $p$ 次幂下降。四阶 Runge-Kutta 给出 $h^4$，因此常用：每步代价是四次函数求值，步长减半代价增至八倍，而误差减少十六倍。

## 单位约定

- 容差相对于答案的量级，绝不用绝对值。半径 `7000` km 上的绝对容差 `1e-9` 远严于表示所能保存，迭代将无法终止。
- 用于相对容差的尺度应取该量自身的大小而非其单位，这样在千米与米之间切换不会改变答案。

## 适用边界

收敛的方法未必准确。对开普勒方程用牛顿法，收敛到所提方程的根；若方程漏掉了某个摄动，解就是错误问题的根，而且会自信地收敛。

迭代也可能因判据过松而悄然停止。报告迭代次数而不只报告答案，能让调用方看出结果是否在预期步数内得到。

三类失效在实践中可分：舍入表现为可达精度的下限；截断表现为方法细化后缩小的误差；不稳定表现为会增大的误差。

## 标准

- Newton，*De analysi per aequationes numero terminas infinitas*，1669
- Higham，*Accuracy and Stability of Numerical Algorithms*，第二版，2002
- Quarteroni、Sacco、Saleri，*Numerical Mathematics*，第二版，2007

## 另见

- [[units-and-dimensions]]：这些数字的含义
- [[ephemeris-interpolation]]：采样表的误差
- [[higher-order-gravity]]：级数不收敛的模型