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title: 开普勒轨道元素
tags: 轨道, 开普勒, 元素, 近点角
summary: 六个经典轨道元素、二体解与三种近点角。
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# 开普勒轨道元素

当只有中心天体引力作用时，六个数字即可描述绕其运行的椭圆轨道。它们是经典轨道元素，也是检视轨道与规划机动时最方便的形式。本文档定义它们及相应转换。

## 定义

| 元素 | 符号 | 含义 | 单位 |
|------|------|------|------|
| 半长轴 | `a` | 椭圆的大小 | km |
| 偏心率 | `e` | 形状，`0` 为圆，小于 `1` 为椭圆 | 无量纲 |
| 倾角 | `i` | 轨道面相对赤道的倾角 | rad |
| 升交点赤经 | `Omega` | 轨道向北穿越赤道的位置 | rad |
| 近地点幅角 | `omega` | 轨道面内从升交点到近地点的角度 | rad |
| 真近点角 | `nu` | 从近地点到卫星的角度 | rad |

前两个给出形状与大小，接下来两个给出轨道面的朝向，最后两个给出近地点在轨道面内的位置与卫星沿轨道的位�置。

轨道是以地心为一个焦点的椭圆，即开普勒第一定律。离地球最近的点是近地点，最远的是远地点。

## 数学含义

半径随真近点角的变化由圆锥曲线方程给出：

```text
r = p / (1 + e cos(nu)),    p = a (1 - e^2)
```

其中 `p` 是半通径。速度由活力公式给出：

```text
v^2 = mu (2 / r - 1 / a)
```

其中 `mu` 是地球的引力参数。

两个导出量经常出现：

```text
近地点半径 r_p = a (1 - e)
远地点半径 r_a = a (1 + e)
周期       T   = 2 pi sqrt(a^3 / mu)      （开普勒第三定律）
```

到直角状态的转换先把卫星置于近焦点坐标系，其第一轴指向近地点，第三轴沿轨道法线：

```text
r = p / (1 + e cos nu)
x = r cos(nu),  y = r sin(nu),  z = 0
vx = -sqrt(mu / p) sin(nu)
vy =  sqrt(mu / p) (e + cos(nu))
```

再按近地点幅角、倾角和升交点赤经依次旋转。

### 三种近点角

三个角为轨道上的位置命名。它们在近地点与远地点一致，在中间不同。

| 近点角 | 符号 | 定义 | 几何含义 |
|--------|------|------|----------|
| 真近点角 | `nu` | 焦点处自近地点量起的角 | 卫星的实际方向 |
| 偏近点角 | `E` | 椭圆中心处的角 | 投影圆的辅助角 |
| 平近点角 | `M` | `M = E - e sin(E)` | 假想的圆轨道天体所具有的角 |

关系为

```text
tan(nu / 2) = sqrt((1 + e) / (1 - e)) tan(E / 2)
M = E - e sin(E)
```

`M = E - e sin(E)` 即开普勒方程。它是超越方程，因此由 `M` 求 `E` 需迭代；实现采用带固定迭代次数与容差的牛顿法，对地球轨道通常具有的偏心率收敛很快。该方程没有闭式解，声称有闭式解的实现都是在近似。

偏近点角是多数计算内部使用的量，因为上述两个转换在它之下都很简单。

## 单位约定

- 半长轴单位为**千米**。
- 接口中角度单位为**弧度**。接受度的工具在输入边界处转换，并同时报告两种单位。
- 偏心率为**无量纲**。
- 引力参数 `mu` 单位为**立方千米每二次方秒**。

## 适用边界

二体解假定两个质点、无其他作用力。地球轨道会受到地球扁率、大气阻力、日月引力与太阳光压的影响，每一项都会使卫星偏离该椭圆。

因此由某一时刻的状态矢量算出的开普勒元素是**密切**轨道的元素，即在那一瞬间与真实轨迹相切的椭圆。它们沿轨道变化。它们不是两行元素集中的平均元素，且两者之间的转换与传播任一者都是不同的运算。

二体解对其假设是精确的，是下列场景的正确模型：

- 检视瞬时状态。
- 规划脉冲机动，此时增量施加在密切状态上。
- 粗略估算周期与几何。

它不是复现编目位置的正确模型。请使用 [[sgp4]]。

## 元素描述对比

| 描述 | 输入 | 模型 | 沿轨道变化 | 此处用途 |
|------|------|------|------------|----------|
| 平均元素 | 两行元素集 | SGP4 | 否，直至重新拟合 | 作为传播器输入 |
| 密切元素 | 状态矢量 | 二体 | 是 | 作为传播器输出 |
| 位置与速度 | 任意传播器 | 任意 | 是 | 内部使用 |
| 赤道元素 | 状态矢量 | 二体 | 是 | 否 |
| 时间网格上的位置 | 任意传播器 | 任意 | 是 | 插值，见 [[ephemeris-interpolation]] |

赤道元素避免了经典元素在倾角为零和偏心率�为零时的奇异。此处使用经典形式，因为两行元素格式与已发表文献都采用这种形式，且地球轨道几乎总有非零倾角。

## 来源

- 二体解与近点角遵循 Vallado《Fundamentals of Astrodynamics and Applications》中的标准论述。
- 元素转换遵循同一文献中的表述。

## 另见

- [[tle-format]]：传播器所消费的平均元素
- [[sgp4]]：传播器及其与这些元素的关系
- [[perturbations]]：二体模型所忽略的内容
- 在线工具试用：*开普勒元素转状态矢量*